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工程电磁场第四章 时变电磁场2

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第四章 时变电磁场2
电气学院 电工电子系

办公室:九里校区3506 Email:yzm@home.swjtu.edu.cn

第四章 学习内容2
4-3
动态位及其积分解

4-4

电磁功率流和坡印亭矢量

4-5

正弦电磁场

4-6

电磁辐射

2018-08-17星期六

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2

§4-3 动态位及其积分解
?静态位: 静态场的各种位函数。

?动态位: 时变场的各种标量位、矢量位(由于 电场和磁场的不可分割,动态位是成对的)。
?本节引出动态标量位和矢量位后,导出关于 他们的非齐次波动方程—达朗贝尔方程,由 其解引入滞后位的概念。

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前言:动态位的引出及达朗贝尔方程
?动态位:借助于辅助的位函数可以减少未知 函数的数目,简化求解。 动态矢量位: B ? ?? A (4-34)

动态标量位:
洛仑兹条件:

?A ? ??? ?t ?? ? ? A ? ? ?? ?t E?
2

(4-35)

(4-36)
(4-37) (4-38)
4

?2 A ? A ? ?? 2 ? ?? J 达朗贝尔方程: ?t 2 ? ? ? ?2? ? ?? 2 ? ? ?t ?
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§4.3.3 达朗贝尔方程的解
?2 A ? A ? ?? 2 ? ?? J ?t 2 ? ? ? ?2? ? ?? 2 ? ? ?t ?
2

(4-37) (4-38)

? 式(4-37)和式(4-38)两个非齐次波动方程,实际上是四个相似 的标量方程(矢量位方程分解成三个标量位方程)的集合, 故只需求解一个标量方程。在这里我们不去严格求解,而是 采用类比方法求方程(4-38)的解,并把重点放在理解所得解 答的物理意义上。 ? 设标量位 ? 是由足够小的体积 dV′ 内的电荷元 dq 产生的, 因此在 dV ′ 之外不存在电荷,式(4-38)变为齐次波动方程。

? 2? ? ? ? ?? 2 ? 0 ?t
2
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(4-39)
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2 ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 0 ?t

(4-39)

? 可把足够小的体积元内的电荷元 dq 视为点电荷。利用点电 荷周围空间的场具有球对称性的特点,得知标量位 ? 在球 坐标系中仅与 r 有关,即: ? ? ? (r,t ) 1 ? ? 2 ?? ? ? 2? ? 则式(4-39)可简化为: 2 ? r ? ? ?? 2 ? 0
1? 2 ?? ? ? 由于: 1 ? ? ? 2r r ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 ?r 2 ? ? ? r ?r ? ?r ? r ? ?r ?r ? r ? ?r ?r ? ? ? 2 ?r? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? 2? ?? ? 2? ? ?? ? r ? ? ? ?r 2 ?2 ?r 2 2 ?r ?r ? ?r ? ?r ?r ?r ?r ?r ?r
2

r ?r ? ?r ? ?t ?? 2 ? 2? ? 1 ? ?? ? 2? ?

? 则式(4-39)又简化为:

1 ? ?r? ? ?? ? ?? 2 2 r ?r ?t
2 2
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?

? 2 ?r? ? ? 2 ?r? ? ? ?? 2 ?r ?t 2
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? 2 ?r? ? ? 2 ?r? ? ? ?? 2 ?r ?t 2
? 令: ? (r,t ) ? 1 U (r,t ) ;v ? 1 ?? r ? 则: ? 2 ?r? ? ?2U 1 ?2U ? 2 ?r? ? ? 2 2 ?0 ? ?? ? 2 2 2
?r ?t

?r

v ?t

(4-40)

? 式(4-40)是一维波动方程。用直接代入法可证明任何以 (t – r / v)或(t + r / v)为宗量的二次可微分函数都是式 (4-40)的解,即其通解为:

? r? ? r? U ?r , t ? ? f1 ? t ? ? ? f 2 ? t ? ? ? v? ? v?

(4-41)

? 式(4-41)中,f1(t – r / v)表示一个以速度 v 沿+ r 方向行进 的波,这就是电磁波,称之为入射波; f2(t + r / v)表示一个 以速度 v 沿- r 方向行进的波,称之为反射波。在无限大 均匀媒质中没有反射波,即f2=0。
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注:通解的物理意义
? f1(t – r / v)的物理意义:
? 当时间从 t 到 t + △ t,信号从 r 处传播到 r + v△t 处 ,有:
r ? v?t ? ? ? r? f1 ? t ? ?t ? ? ? f1 ? t ? ? v ? ? ? v?
f1(t1,r1) t=t1 r f1(t2,r2) t=t2=t1+Δt

? f1 在时间△ t 内经过 △r (=v△t) 距离后不变, 说明它是以有限速度 v 向 +r 方向前进的波,这就是 电磁波,称之为入射波。

r Δr=v(t2 - t1)
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? r? ? r? U ?r , t ? ? f1 ? t ? ? ? f 2 ? t ? ? ? v? ? v?
? r? U ? r,t ? ? f ? t ? ? ? v?

(4-41)

? 在无限大均匀媒质中没有反射波,即f2 (t + r / v)=0,故:
1 r ? r? f ?t ? ? ? v?

? 故标量位函数为:

? (r,t ) ?

? 为了求函数 f (t - r / v) 的特定形式,将式与同样位于坐标 原点的静止点电荷元ρdV′ 产生的标量电位类比: ? dV ? d? (r ) ? 4?? r

? 可看出,时变场的标量位应取为:
d? (r,t ) ?
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r? ?? t ? ? ? dV ? ? v? 4?? r

(4-42)
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d? (r,t ) ?

r? ?? t ? ? ? dV ? ? v? 4?? r

z dV V r'

? ? r ?, t ?

r ? r? ? ? v ? ? r' - r ? (r, t) ?

? 对位于 r' 处的点电荷元 dq=ρ (r', t) dV' ,

r

应将上式右端的 r 换成R,即
d? (r ,t ) ? ? ? ? ?? r ',t ? | r ? r | ? ? dV ? 1 v ? 4?? | r ? r ? | ? R? ?? r ',t ? ? ? dV ? ? v? 4?? R

0
x

y

? 其中: R ? r ? r? ? 因此,由体积 V' 内分布的电荷产生的标量位为:

1 ? ?r, t ? ? ?? 4?? V

? ? r ? ,t ? ?
R

? ?

R? v?

dV ?

(4-43)

r ? ,t ? ? 1 ?? v? ? ? ?r, t ? ? dV ? R ? 4?? V ?

?

R?

(4-43)

? 式(4-43)中 R/v 代表响应函数(在此即是与电荷相距为 R 的位函数)与源(在此即是位于 r‘ 的时变电荷)之间的时 延,即离开源为 R=r - r’ 处,在 t 时刻的标量位由稍早时刻 t-R/v 的电荷密度所决定。也就是说,观察点的位场变化滞 后于源的变化,滞后的时间 R/v 正好是源的变动以速度 v 传 播距离 R 所需的时间。故式(4-43)表示的标量位 ?(r , t),称 为标量滞后位。
? 对于矢量位 A(r , t) ,可将其分解为三个分量,即

A(r ,t ) ? Ax (r ,t )ex ? Ay (r ,t )e y ? Az (r ,t )ez

J (r ,t ) ? J x (r ,t )ex ? J y (r ,t )e y ? J z (r ,t )ez
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? 这时矢量位 A(r , t)的矢量运算可化为标量运算,故可仿照上 述过程求出矢量滞后位的表达式:
| r ? r? | ? R? ? ? J ? r ',t ? J ? r ',t ? ? ? ? ? v ? ? v? ? ? ? A(r ,t ) ? d V ? dV ? ? ? 4? V |r ?r | 4? V R

(4-44)

? 求出 ? 和 A 之后,就可由式(4-34)和式(4-35)求出电场 E 和磁场 B 。事实上,由于 ? 和 A 之间关系已由洛伦兹条件 给出: ?? (4-36) ? ? A ? ? ?? ?t ? 所以不必把 ? 和 A 都解出来,通常只需求出 A 就可求得电场 强度 E 和磁场强度 B 。
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? 应该指出,考虑“滞后”并非总是必需的。“滞后” 究竟是重要的还是可以忽略的,取决于时间延迟 R/v 的长短,这就要涉及到电磁现象本身的特性以 及所需求的时间分辨率。 ? 如果延迟时间 R/v 足够短,则在所讨论的区域内就 可忽略“滞后”。对于研究电磁辐射问题,滞后位 是十分重要的。

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§4-4 电磁功率流和坡印亭矢量
? 时变电磁场中的一个重要现象就是电磁能量的流动。 因为电场能量密度随电场强度变化;磁场能量密度 随磁场强度变化。空间各点能量密度的改变引起能 量流动。 ? 我们定义单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单 位表面的能量为能流矢量,其意义是电磁场中某点 的功率密度,方向为该点能量流动的方向。 ? 电磁能量如其它能量一样,服从能量守恒和转化定 律。下面将从麦克斯韦方程出发,导出表征时变场 中的电磁能量守恒和转化定律—坡印廷定理,并着 重讨论描述电磁能流矢量—坡印亭矢量。

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坡印亭定理的推导(1)
利用矢量恒等式有: ? ? ( E ? H ) ? H ? (?? E ) ? E ? (?? H ) 利用Maxwell方程组:

? ?B ? ?B H ? (?? E ) ? H ? ? ? ? ? ? H ? ?t ? ?t ? ?D ?D E ? (?? H ) ? E ? ( J ? ) ? E?J ? E? ?t ?t

?B ?D ? ?? ( E ? H ) ? ?E ? J ? H ? ? E ? ?t ?t
上式两边对体积 V 积分有:

(4-◎)

?? ?? ( E ? H )dV ? ? E ? JdV ? ?
V V
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V

?B ?D ( H ? ? E ? )dV ?t ?t
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坡印亭定理的推导(2)
?? ?? ( E ? H )dV ? ? E ? JdV ? ?
V V

V

?B ?D ( H ? ? E ? )dV ?t ?t

利用散度定理上式可写为(

?为包围体积的闭合曲面)
V

? ? ( E ? H ) ? d ? ? ? E ? JdV ? ?
S V

?B ?D ( H ? ? E ? )dV ?t ?t

上式是适合一般媒质的坡印亭定理。

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坡印亭定理的推导(3)
重写由矢量恒等式以及Maxwel方程推导的结果:
? ? ?E ? H ? ? ? E ? J ? H ? ?B ?D ?E? ?t ?t

(4-◎)

对于各向同性的线性媒质有:
H? ?B ?(? H ) 1 ? ? ?1 ? ?w ?H? ? (? H ? H ) ? ? ? H 2 ? ? m ?t ?t 2 ?t ?t ? 2 ? ?t ?D ?(? E ) 1 ? ? ?1 ? ?w E? ?H? ? (? E ? E ) ? ? ? E 2 ? ? e ?t ?t 2 ?t ?t ? 2 ? ?t

当媒质内含有外加源时,有: J ? ? ?E ? Ee ? ? E ? J ? Ee ? 把以上条件等式代入式(4-◎),得:
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坡印亭定理的推导(4)
?J ? ? ? ? ?E ? H ? ? ?? ? ? ? Ee ? ? ? J ? ?t ?wm ? we ? ? ?

上式是坡印亭定理的微分形式。 ? 在时变电磁场中,麦克斯韦作了电磁场能量的体 密度等于电场能量的体密度与磁场能量的体密度 之和的基本假设:

w ? wm ? we
J2

? 再应用高斯散度定理,可得:

? ?E ? H ?? dA ? ??
A

V

?W dV ? ? J ? Ee dV ? V ? ?t

(4-51)

?这就是电磁场中的能量守恒和转化 定律,一般称为坡印亭定理。
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坡印亭定理的物理意义

? ?E ? H ?? dA ? ??
A

J2

V

?W dV ? ? J ? Ee dV ? V ? ?t

(4-51)

?上式中各项的物理意义:

?
V

J2

V

?
e

dV

表示电磁场在体积 V内的导体中激起电流所产 生的焦耳热损耗功率;
表示在体积V内的电源提供的能量; 表示体积V中电磁能量在单位时间内的增加值; 根据能量守恒定理,它表示单位时间内通过包 围体积V的闭合面A向外输送的电磁能量。

? J ? E dV
?W ?t

? ?E ? H ?? dA
A

?坡印亭定理是能量守恒的表现。
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?A ?E ? H ?? dA ? ??V
?定义:坡印亭矢量

J2

?

dV ? ? J ? Ee dV ?
V

?W ?t

(4-51)

S ? E?H

?坡印亭矢量 S 表示某时刻单位时间内通过垂直于能 量传播方向的单位面积的电磁能量,也称为电磁能流 密度。 ?坡印亭矢量 S 的方向就是电磁能量传播或流动方向 (也可以说是波的传播方向),单位是W/m2。
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坡印亭定理的讨论(1)

?A ?E ? H ?? dA ? ??V

J2

?

dV ? ? J ? Ee dV ?
V

?W ?t

(4-51)

?在静电场和静磁场情况下,由于电流为零以及电磁 场能量都不随时间变化,上式右端为零。 ?由坡印亭定理可知,上式左端表示在场中任何位置 处,单位时间内流出包围体积 V 闭合面的总能量为零, 即没有电磁能量流动。所以,在静电场和静磁场情况 下不存在电磁功率流密度。
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坡印亭定理的讨论(2)

?A ?E ? H ?? dA ? ??V

J2

?

dV ? ? J ? Ee dV ?
V

?W ?t

(4-51)

?对于恒定电流的电场和磁场,体积V中的电磁场能量
不随时间变化。对于无源区域,右边第二项等于零。

?由坡印亭定理可知,在恒定电流场中坡印亭矢量可
以代表通过单位面积的电磁功率流。它表示在无源区

域中,通过闭合A面流入体积V内的电磁功率等于体积
V 内的损耗功率。
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坡印亭定理的讨论(3)

?A ?E ? H ?? dA ? ??V

J2

?

dV ? ? J ? Ee dV ?
V

?W ?t

(4-51)

?在时变电磁场中,坡印亭矢量 S 代表瞬时功率流密 度,它通过任意截面积的面积分(上式中的左边项) 代表瞬时功率。

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坡印亭定理的应用(1)
? 例:理想的导电壁限定的区域(0≤x ≤ a)存在一个 如下的电场: a ?? ? Ey ? H 0?? sin ? x ? sin(kz -?t ) ? ?a ? 求这个区域中坡印亭矢量。 【解】由电磁感应定律得:
?H ?? E ? ? ? ?t

?H ex ? ez ? ??0 即:? ?z ?x ?t

?Ey

?Ey

? ? ?? ? 得: H ? H 0 ka sin ? ? x ? sin(kz -?t )ex ? H 0cos ? x ? cos(kz -?t )ez ? ?a ? ?a ?
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? ? 由于: Ey ? H 0?? a sin ? ? x ? sin(kz -?t ) ?
?a ?
H? H 0 ka

?

?? sin ? ?a

? ?? x ? sin(kz -?t )ex ? H 0cos ? ? ?a

? x ? cos(kz -?t )ez ?

? H xex ? H z ez

故:

S = E ? H ? Ey e y ? (H x ex ? H z ez )
2

1 ? a ? ? 2? x ? ?a? 2 2 ??x? 2 ? H 02?? ? ? sin ? sin2( kz ? t ) e ? H ?? k sin sin (kz -?t )ez x ? ? ? ? ? 0 4 ?? ? ? a ? ?? ? ? a ?

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坡印亭定理的应用(2)
? 例:设同轴电缆的内外导体均为理想导体(内外半径 分别为R1、R2),中间的介质也无损耗(? = 0),内 外导体间始端接有电压为U的电源,终端接有负载R, 设外导体面、内导体均匀流过的电流为I,试计算流 入图示闭合面的功率。

【解题思路】:先求出电场强度(E)、磁场强度(H) 的大小及方向,进而求解玻印亭向量(S)。
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同轴电缆的能量传输问题

【解】 由高斯定律以及安培环路定理可求得:
? E? e? ? b ? ln ? UI a ?? S ? E?H ? ez b 2 ? I 2?? ln H? e? ? a 2?? ? U
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同轴电缆的能量传输问题
?闭合曲面功率计算:闭合 曲面包括三个部分,截面a b、 截面c d 以及侧面:
? Aab A侧 Acd ? R2 ? UI 1 S ? dA ? ? ? ? 2?rdr ? ?UI ? 2 ?Aab R1 R ? 2? ln 2 r R1 ? ? R2 UI 1 ? dA ? ? ? 2?rdr ? UI ? 2 ?AS cd R1 R ? 2? ln 2 r ? R1 ? ? ? dA ? 0 ?AS 侧 ?

? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA

故:

? S ? dA ? 0

注:∮S dA=0,意味着对 于闭合曲面而言,流进 = 流出 = UI = 电源得输出功 率,它反映了一个客观事 实,电源输送给负载的功 率是通过介质中电磁场进 行传递的!
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同轴电缆的能量传输问题
?若同轴电缆的导体电阻不能忽略时,能量的
传输过程又是如何? ?提示:在导体内部,电场仅存在一个切向分 量(与电流方向相同)EZ = J/? ;而在内外导 体之间,电场即存在切向分量,又存在一个径

向分量。磁场仅存在切向分量。具体分析见教
科书P163的例4-7。
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坡印亭定理的应用(3)
? 例:圆柱形导线长为l,电阻为 R,载有电流 I,求证 电磁场通过表面导线的功率等于焦耳热功率,即: ? ? E ? H ? dS ? I 2 R 。 【解】由计算可得:
I ? H ? e? ? ? 2?a ? ?E ? U ? IR e Z ? l l ? IR I I 2R S ? E ? H ? eZ ? e? ? ? e? l 2?a 2?al I 2R ? ? E ? H ? dS ? ? ?2?a ? l ? ? I 2 R 2?al
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注:通过计算表明,导 体上的坡印亭矢量仅有 径向分量,而由导体表 面进入的坡印亭矢量的 通量应等于这段导体电 阻上的焦耳损耗功率P。
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小结(1)
? 以上两例说明,电磁能量的储存者和传递者 都是电磁场,导体仅起着定向导引电磁能流 的作用,故通常称为导波系统。 ? 对有损耗的传输线,能量仍在导体之间的空 间传输。只是在传输过程中有部分能量为导 体所吸收,变为导体电阻上的焦耳热损耗。 ? 如果仅凭直觉,往往会认为能量是通过电流 在导体中传输的。但理论分析说明,电磁能 量是在空间介质中传输的。
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坡印亭定理的应用(4)
例:已知自由空间中电磁波的两个分量为: E ? 1000 cos??t ? ?z ?ex H ? 2.65 cos??t ? ?z ?e y 式中 f = 20 MHz,β= ω(εμ)1/2 = 0.42弧度/米; ? 1)写出坡印亭向量的时间函数; ? 2)计算出坡印亭向量的平均值; ? 3)计算流入图示平行六面体(长 1 m、横截面积为 0.25 m2) 体 积中的净功率流。

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【解】 ?1)由玻印亭向量的定义得:

S ? E ? H ? 2650 cos2 ??t ? ?z ?ez
?2)由平均值的定义得:
S? ?

? Sdt
T

T

? ?

T

0

2650 cos2 ??t ? ?z ?ez dt T

?

T

0

1 2650 ? ?cos 2??t ? ?z ? ? 1?ez dt 2 ? 1325 T
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S ? E ? H ? 2650 cos ??t ? ?z ?ez
2

?3)由净功率流的定义得:
? ? ? S ? dA ? ? S ? dA
上 下 上

? ? S ? dA ? ? ? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA ? ? S ? dA

?

?



?











?

? ?? 2650 cos2 ??t ? ? ?1??e z ? ? dA?e z ? ? ? 2650 cos2 ?t ?e z ? ? dA?- e z ?


2650 1 ? ?cos 2?t ? cos 2??t ? ? ?? 4 2 2650 ? ? 2?t ? 2?t ? 2? ? ? ? ?? ? 2 sin 0.42 sin ? ?? ? ? 8 ? 2 ? ?? ? ?270.17 sin ?2?t ? ? ? ?
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坡印亭定理的应用(5)
? 例:同轴电缆的内外层导体均无电阻,其内径为 R1=1mm,外径为R2=4mm,内外导体间介质的物理参 数为:μr=1、εr=2.25,设已知内外导体间的电场强度 为: 100 E? sin(108 t ? ?z )er
r

其中z为电缆的轴向长度,问: ? 1)场强的表达式是否具有波动性?说明理由; ? 2)确定β; ? 3)写出磁场强度的表达式; ? 4)写出内导体表面的面电流密度; ? 5)计算0≤z≤1 m 中的位移电流。
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【解】 ?1)场强的表达式具有波动性。因为: 100 100 z 8 8 E? sin(10 t ? ?z)er ? sin(10 ? (t ? 8 ))er r r 10 / ? 显然电场具备波动方程的形式。 ?2)确定β :
108 1 ?v? ? ? 3 ?10 ? ? 3 ?10 ? ? ?? ? 0? r ?0 ?r ? r ?r 1? 2.25
8 8

1

1

1

? ? ? 0.5
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?3)磁场强度的表达式为:
?H ? ? 100 ? ?? ? ?? E ? ? sin(108 t ? 0.5 z ) ?e? ?t ?z ? r ? 1 ? ? 100 ? ? H ? ?? sin(108 t ? 0.5 z ) ?dte? ? ? ?z ? r ? 0.5 100 sin(108 t ? 0.5 z ) 8 ? sin(10 t ? 0.5z )e? ? 0.398 e? 8 ? ?10 r r

?4)内导体表面的面电流密度为:
sin(108 t ? 0.5z ) KC r ?10?3 m ? en ? H ? er ? 0.398 e? ?3 10 ? KC r ?10?3 m ? 398 sin(108 t ? 0.5z )ez
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?5)由电场强度沿径向可知,位移电流沿径向由内导 体向外部扩散。 ?D Jd ? ? I D ? ? J d ? dS 侧面 ?t 1 ? ? 100 ? 8 ? I D ? ? ?? sin(10 t ? 0.5 z ) ?er ? ?2?rdzer ? 0 ?t ? r ?
? ?2? ?100 ? 2.25? 0 ?10
8

? 900?? 0 ?108 sin(108 t ? 0.5 z ) ? sin(108 t ) ? ?1.237 cos( 108 t ? 0.25)
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?

?

1

0

cos( 108 t ? 0.5 z )dz

?

? ?1800?? 0 ?108 sin( 0.25) cos( 108 t ? 0.25)

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§4-5 正弦电磁场
? 1)正弦场或时谐场: 如果场源(电荷或电流)以一 定的角频率ω随时间作正弦变化,则它所激发的电 磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化,这种以 一定频率作正弦变化的场,称为正弦场。例如,广 播、电视、和通信的载波,都是正弦电磁波。 ? 2)一般情况下,即使电磁场不是正弦场,也可以通 过傅立叶变换展成正弦场来研究。所以,研究正弦 场具有普遍的意义。 ? 3)正弦场的变量可以用复数的形式来表示。在此情 况下,电磁场所满足的麦克斯韦方程、波动方程、 达朗贝尔方程等,形式上都会有所变化。用复数的 形式来表示正弦场,是处理正弦问题的重要方法。
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§4.5.1 正弦电磁场的复数表示法
?时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时,其振幅和 初相也都是空间坐标的函数。以电场强度为例,在直角坐标系 中:

E ( x, y, z, t ) ? ex Ex ( x, y, z, t ) ? ey E y ( x, y, z, t ) ? ez Ez ( x, y, z, t )
式中电场强度的各个坐标分量为:

Ex ( x, y, z, t ) ? Exm ( x, y, z ) cos[?t ? ?x ( x, y, z )] E y ( x, y, z, t ) ? E ym ( x, y, z ) cos[?t ? ? y ( x, y, z )] Ez ( x, y, z, t ) ? Ezm ( x, y, z ) cos[?t ? ?z ( x, y, z )]
与电路理论中的处理相似,利用复数或相量来描述正弦电磁场 场量,可使数学运算简化:对时间变量t进行降阶(把微积分方程 变为代数方程)减元(消去各项的共同时间因子e jωt)。例如:
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已知直角坐标系中电场强度的 x 方向坐标分量为:

Ex ( x, y, z, t ) ? Exm ( x, y, z) cos[?t ? ?x ( x, y, z)]
上式可表示为:

Ex ( x, y, z, t ) ? Re[ Exm ( x, y, z )e ? Re[ Exme j?x e j?t ] ? e j?t ] ? Re[ E
xm

j [?t ?? x ( x , y , z )]

]

即:
j? x ( x , y , z ) ? Ex ( x, y, z, t ) ? Exm ( x, y, z ) ? Exm ( x, y, z )e

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j? x ( x , y , z ) ? Ex ( x, y, z, t ) ? Exm ( x, y, z ) ? Exm ( x, y, z )e
j? x ? Exm ? Exme 称为Ex(x, y, z, t) = Exm (x, y, z) cos

因此,我们也把

[ωt+φx(x, y, z)]的复数形式。显然,给定函数 Ex(x, y, z, t) = Exm (x, y, z) cos[ωt+φx(x, y, z)],有唯一的复数 与之对应; 反之亦然。 由于:

? xm ? Exme j?x E

?Ex ( x, y, z, t ) ?t ? ? Exm ( x, y, z )? ? sin[?t ? ?x ( x, y, z )] ? e j?t ] ? Re[ j?E
xm
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所以,采用复数表示时,正弦量对时间 t 的偏导数等价于
该正弦量的复数形式乘以jω,即:

?Ex ( x, y, z, t ) ? ( x, y, z ) ? j?E xm ?t
同理,电场强度矢量也可用复数表示为 :

E ( x, y, z, t ) ? Re[(ex Exme ? e y E yme ? ?e E ? )e j?t ] ? Re[ex E xm y zm

j? x

j? y

? ez Ezm e )e j?t ]

j? z

? e j?t ] ? Re[ 2 E ? e j?t ] ? Re[ E m
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j?t ? E ( x, y, z, t ) ? Re[Eme ]

? ?e E ? ? ? 称为电场强度的复振幅矢量或复 式中 E m x xm ? e y E ym ? ez Ezm
矢量,它只是空间坐标的函数,与时间t无关。这样我们就把时间
t和空间x、y、z的四维(x, y, z, t)矢量函数简化成了空间(x, y, z)的三 维函数,即:

? ( x, y, z) ? e E ? ?e E ? ?e E ? E( x, y, z, t ) ? E m x xm y ym z zm
若要得出瞬时值,只要将其复振幅矢量乘以 ejωt 并取实部,便得 到其相应的瞬时值:

? ( x, y, z )e j?t ] E ( x, y, z, t ) ? Re[ E m
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例:将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值,或作相反的

变换。

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两种表示式转换方法的总结
1、由复数表示式转换到瞬时表示式:
? ?r ?e j?t ] ? 方法:直接利用关系式 E?r, t ? ? Re[E

? ?x, y, z ?中的 j 或 -j 都写成指数形式。 ? 注意:必须将 E

2、由瞬时表示式转换到复数表示式:
? 方法:求出每个分量的复振幅,再组成复矢量
? 注意:首先须将所有分量的sin、cos函数都写成 cos??t ...? 的形式,且 ?t 前的符号应为正号。
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§麦克斯韦方程组的复数形式
? 现在把时谐场的上述复数表示法代入麦克斯韦方程 组。以教科书中P152的式(4-20)为例,它可写为:
j?t j?t ? ? ? Re ?? ? H ( r ) e ? Re J ( r ) ? j ? D ( r ) e m ? m ? ? m ?

?

?

?

?

? 一般来说,仅实部相等并不意味着复数相等;但上 式须在任意时刻都成立,于是就只有等式两边的复 数相等。约掉时间因子 e j?t ,得 ?? H m (r ) ? J m (r ) ? j? Dm (r ) (4-64) j?t ? 为了方便,约定不写出时间因子e ,去掉下标m与 宗量(r),即得麦克斯韦方程的复数形式:
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? ?J ? ? j?D ? ?? H
? ? ? j?B ? ?? E ? ?0 ?? B ? ?? ? ?? D
描述电磁场构成关系的复数形式:

(4-64) (4-65) (4-66) (4-67)

? ? ?E ? D

? ? ?H ? B

? ? ?E ? J
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(4-68)
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例:在两块导电平板 z=0, z=d 之间的空气中传播的电 磁波的电场强度为:

? ? ? ? j?x ? ? E ? E0 sin ? z ?e y ?d ?

z
? E
y
? ? j?x ? z ?e z ?
49

? 。 求 两块导电平板表面上的 J s

? ? ? j?B ? ? ? j?? H ? 解: ? ? E 0

1 ? ? H? ?? E ? j??0

(直角坐标下的矢量旋度公式)

? jE0? ?? ? cos? ??0 d ?d
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? ? j?x ? E0 ? ? ? z ?e x ? sin ? ??0 ? d ?
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?在下导电平板:

??z ? n
? ?n ? ? J ? H s
? jE0? ? j?x ? ? e y ? ?0 d
z ?0

z
z=d

? n

? n
y

z=0

?在上导电平板: ? ? ?z ? n jE0? ? j?x ? ? ? e y ??H ? Js ? n z ?d ? ?0 d
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时谐场的复数表示式的总结
? 好处:
? 复数表示式比瞬时表示式更简洁; ? 频域(源随时间正弦变化)Maxwell方程比时域(源随 时间任意形式变化)Maxwell方程形式上更简单。

? 两种表示式的转换方法:

? ( x, y, z )e ] ? 牢记关系式:E ( x, y, z, t ) ? Re[ E m ? ? 算子 用 j? 代换;算子 ? ? 、? ?不变; ?t ? 结构方程、边界条件的基本形式保持不变。
j?t

? 注意:
一切都基于“时谐场”这一前提。
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§4.5.2 坡印亭定理的复数形式
? 对正弦电磁场,当场矢量用复数表示时: 1 ? j?t ? j?t ? E (t ) ? Re[ Em e ] ? [ Em e ? Em * e ? j?t ] 2 1 ? j?t ? j?t ? H (t ) ? Re[ H m e ] ? [ H m e ? H m * e ? j?t ] 2 ? E*、 H*是 E、H 的共扼复数。 ?从而坡印亭矢量瞬时值可写为: 1 ? j?t ? 1 ? j?t ? ? j?t S (t ) ? E (t ) ? H (t ) ? [ Em e ? Em * e ] ? [ H m e ? H m * e ? j?t ] 2 2 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? e j 2?t ? E ? * ?H ? * e ? j 2?t ] ? ? [ Em ? H m * ? Em * ?H m ] ? ? [ Em ? H m m m 2 2 2 2 1 ? ?H ? *] ? 1 Re[ E ? ?H ? e j 2?t ] ? Re[ E m m m m 2 2
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1 1 ? ? ? ?H ? e j 2?t ] S (t ) ? Re[ Em ? H m *] ? Re[ E m m 2 2
坡印亭矢量瞬时值在一个周期T=2π/ω内的平均值为:

1 T ~ ?1 ? ? ? Sav ? ? S (t )dt ? Re? Em ? H m *? ? Re[S ] T 0 ?2 ?
式中:

~ 1 ? ? ? ?H ?* S ? Em ? H m * ? E 2

~ 式中,S 称为复坡印亭矢量,它与时间 t 无关,表示复功率 ~ 流密度。S 实部为平均功率流密度(有功功率流密度),表示 ~ 能量的流动;S 虚部为无功功率流密度,表示电磁能量的交

换。 注意式中的电场强度矢量和磁场强度矢量的复数形式 是复振幅值还是有效值;E*、 H*是 E、H 的共扼复数,Sav 称为平均能流密度矢量或平均坡印亭矢量。
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?类似地,可得到电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功 率密度的表示式:

1 1 1 ? ? ? ?D ? e? j 2?t ] we (t ) ? D(t ) ? E (t ) ? Re[E ? D*] ? Re[E 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ?H ? e ? j 2?t ] wm (t ) ? B(t ) ? H (t ) ? Re[B ? H *] ? Re[B 2 2 2 ??E ? *] ? Re[ J ??E ? e ? j 2?t ] p(t ) ? J (t ) ? E (t ) ? Re[ J 1 ? ?D ? *] wav,e ? Re[E 2 1 ? ?H ? *] wav,m ? Re[B 2 ??E ? *] pav ? Re[ J
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说 明
? 1)复数形式只是一种数学表达式,不代表真 实的场,没有明确物理意义,采用复数形式 可以使大多数正弦电磁场问题得以简化; ? 2)实数形式(瞬时形式)代表真实场,具有 明确的物理意义; ? 3)在某些应用条件下,如能量密度(w)、 能流密度(S)等含有场量的平方关系的物理 量(称为二次式,比如 S = E×H),只能用 场量的瞬时形式表示。
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?坡印亭定理的复数形式推导
利用矢量恒等式: ? ? ( A ? B ) ? B ? (? ? A) ? A ? (? ? B ),
可知:

??H ? *? ? H ? * ?(? ? E ?) ? E ? ? (? ? H ? *) ? ? ?E ??H ? *? ? H ? * ?(? j?B ?) ? E ? ? (J ?* ? jωD ? *) ? ? ? ?E ??H ? *? ? E ??J ? * ? j? ?B ? ?H ? * ?E ? ?D ? *? ? ?? ? ?E

这个公式表示了作为点函数的功率密度关系。 对其两端取体积 分,并应用散度定理得:

? ?H ? *?? dS ? j? ?B ? ?H ? * ?E ? ?D ? *?dV ? E ??J ? * dV ? ? ?E ? ?
S V V

这就是用复矢量表示的坡印亭定理, 称为复坡印亭定理。
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? ?H ? *?? dS ? j? ?B ? ?H ? * ?E ? ?D ? *?dV ? E ??J ? * dV ? ? ?E ? ?
S V V

当媒质内含有外加源时,有:

? ? ? ?E ? ?E ? ? J e
并利用关系式:

?

?? E

? J

?

? ?E e

? ? ?H ? ,D ? ? ?E ? B
2 ? J

可得:

2 2 ? ? ? ? ? ? ?J ? *dV ? ? ?E ? H *?? dS ? j? ? ? ? H ? ? E ? dV ? ? dV ? ? E ? S V? V ? V e ?

?上式就是坡印亭定理的复数形式。 ?上式左边表示流入闭合面 S内的复功率;右边第一项表示体 积V内电磁能量的平均值,右边第二项表示体积 V内导电媒质 消耗的功率,右边第三项表示体积V内电源提供的复功率。
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例:已知无源 (ρ=0 , J=0) 的自由空间中,时变电磁场
的电场强度复矢量为:

? ( z) ? e Ee? jkz E y
式中k、E为常数。

(V / m)

(1) 磁场强度复矢量;
(2)

(3) 平均坡印亭矢量。

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? ? ? j?? H ? 得: 解:(1) 由 ? ? E 0

1 1 ? ? ? H ( z) ? ? ? ? E( z) ? ? ez ? (ey Ee? jkz ) j??0 j??0 ?z kE ? jkz ? ?ex e

??0

(2) 电场、 磁场的瞬时值为:

坡印亭矢量的瞬时值为:

? ( z )e j?t ] ? e 2 E cos(?t ? kz ) E ( z, t ) ? Re[ 2 E y kE j?t ? H ( z, t ) ? Re[ 2 H ( z )e ] ? ?ex 2 cos(?t ? kz ) ??0

S ( z , t ) ? E ( z , t ) ? H ( z , t ) ? ez
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2kE 2

??0

cos2 (?t ? kz )
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(3) 平均坡印廷矢量:

? ( z) ? H ? * ( z )] Sav ? Re[ E ? kE ? jkz ? ? ? jkz ? ? Re?ey Ee ? ? ? ? ex ?? e ? ? *? 0 ? ? ? ? ? kE 2 ? kE 2 ? Re?ez ? ? ez ??0 ? ??0 ?

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§4.5.3 达朗贝尔方程的复数形式
对于正弦电磁场,有关动态位的公式可用复数表示为:

B ? ?? A ?A E ? ??? ? ?t
而洛仑兹条件则表示为:

? ? ?

? ? ? ?? A B ? ? ? ??? ? ? j?A E

(4-82)
(4-83)

?? ? ? A ? ? ?? ?t

? ? ? j??? ? ?? A ?

故动态矢量位 A 和标量位φ 的方程可表示为: ?2 A 2 2 ? 2 ? ? ? A ? ?? 2 ? ? ?J ? A ? k A ? ? ? J ?t 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ?k ? ? ?? ?? ? ? ? ?? 2 ? ? ?t ? ?
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(4-78) (4-79)
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? ? k2A ? ? ??J ? ?2 A ? ? 2 2 ? ?k ? ? ?? ??

(4-78)

?

(4-79)

其中 k2=ω2με。由此可见,采用位函数使原来求解电磁场量B和E 的六个标量分量变为求解 A 和φ 的四个标量分量。而且,因为标 量位φ可以由洛仑兹条件求得:

? ?? A ?? ? ? j???

所以不必把 ? 和 A 都解出来,通常只需求出 A 就可求得电场强 度 E 和磁场强度 B 。
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例:已知时变电磁场中矢量位 A ? ex Am sin(?t ? kz ) ,其中Am、k 是常数,求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解:

?Ax B ? ? ? A ? ey ? ?e y kAm cos(?t ? kz ) ?t k H ? ?ey Am cos(?t ? kz ) ? ?? ?? ? ?? ? A ? 0,? ? C ?t 如果假设过去某一时刻,场还没有建立,则C=0。 ?A E ? ??? ? ? ?ex?Am cos(?t ? kz ) ?t 坡印廷矢量的瞬时值为: ? ? k S (t ) ? E (t ) ? H (t ) ? [?ex?Am cos(?t ? kz )] ? ?? e y Am cos(?t ? kz )? ? ? ?

?k 2 ? ez Am cos(?t ? kz ) ?

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达朗贝尔方程解的复数形式
? 由体积 V′内分布的电荷产生的动态标量位为:

1 ? ?r, t ? ? ?? 4?? V

? ? r ? ,t ? ?
R

? ?

R? v?

dV ?

(4-43)

R ? r ? r? ,表示场点 r 到源点 r′处的距离。 ? 其中:

? 动态标量位方程的解,即式(4-43)的物理含义:t 时刻、 位于 r 处的动态标量位φ(r ,t)由稍早时刻 t-R/v 、位于 r′处的源ρ(r′,t-R/v)所决定。 ? 也就是说,观察点的位场变化滞后于源的变化,滞后的时间 R/v 正好是源的变动以速度 v 传播距离 R 所需的时间。故式 (4-43)表示的标量位 ?(r , t),称为标量滞后位。
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?时谐场源 ?源 ?r?, t ? 产生时谐标量滞后位。 ?时谐函数 ?源 ?r?, t ? R / v? 的复数表示式:
j?t ? ? ? ?源 ?r , t ? ? Re ?源 ?r ?e

?

?
瞬时表示式

瞬时表示式

复数表示式

将上式中t 用 t ? R v 替换

? ? ? Re??
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? 源 ?r ??e j? ?t ? R / v ? ? Re ?
? j?R j?t ? ? ? r e e 源

?源 ?r ?, t ? R / v ?

? ?

复数表示式
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??

?
v

? ? ??
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1 ? ?r, t ? ? ?? 4?? V

? ? r ? ,t ? ?
R

? ?

R? v?

dV ?

? j?R j?t ? ? ? ?源 ?r , t ? R / v ? ? Re ?源 ?r ?e e

?

?

时谐标量滞后位的复数表示式:

1 ?? ? 4??

?

? 源 ?r??e? j?R ? R

V?

dV ?

?源 ?r??的相位;相位滞 ? ?r ?的相位滞后于? ? ?可以看到, 后意味着时间滞后。
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?同样的,时谐场的矢量滞后位复数表示式为:
? j?R ? ? ? ? J r e ? 源 ? ?r ? ? ? A d V ? 4? V ? R

? ?r ? 的相位滞后于J ? ?r ??的相位;相位滞 ?可以看到, A 源
后意味着时间滞后。

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?讨论:
1 ?? ? 4??

?

? 源 ?r??e? j?R ? R

V?

dV ?

? j?R ? ? ? ? J r e ? 源 ? A? dV ? ? 4? V ? R

?式中,e -jβR表示所在场点的动态位与源之间的滞后相位,故亦 称滞后因子。 ?R/v称为滞后时间,ωt =ωR/v =βR 称为滞后相位,β=ω/v 称为 相位常数。 ?当0 < β R << 1 时,e-j β R ≈ 1,可以不计滞后效应,解的形式与 恒定磁场、静电场相同。表明时变电磁场的瞬时分布规律分别 与静电场和恒定磁场相同,称之为似稳场。 ?β R << 1或 R << λ ,称为似稳条件。 ?波长λ表示正弦电磁波在一个周期内传播的距离,λ=v T 。 ?相位常数:β =2π/ λ ,β又被称为波数,它与电磁波的波长之 积为2π。
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电尺寸(βR=2πR /λ)概念
? 在真空中,v =3×108m/s,
工频:f = 50Hz,λ= v T = v / f = 3×108/50 = 6000 km 射频:f = 100MHz,λ= 3×108/(100×106)= 3 m 微波:f = 1GHz,λ= 3×108/(1×109)= 0.3 m

? 对于工频,几十公里范围内的电压或电流信号以及空间电磁 波,都可以看作处处相等的场量,都可以看成由静电场和恒 定磁场的规律来进行处理。

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§4-6 电磁辐射
? 通过对达朗贝尔方程解的形式的学习,可以看到空 间电磁场并不取决于同一时刻的源的特性,即便在 同一时刻源已消失,只要前一时刻源还存在,它们 原来产生的空间电磁场仍然存在。这表明源已将电 磁能量释放到空间,电磁能量脱离源而单独存在于 空间中。 ? 什么是电磁辐射?当电荷、电流随时间变化时,在 其周围激发电磁波,在电磁波向外传播的过程中, 会有部分电磁能量输送出去,这种现象称为电磁辐 射。用于辐射的导体装置称为辐射器。各种形式的 天线都是辐射器。 ? 本节将专门分析单元偶极子天线的辐射特性;最后 简单介绍细线天线和天线阵。
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§4.6.1 单元偶极子的辐射
? 单元偶极子天线是指一段载流细导线,如右下图所 示。它的长度Δl 和横截面积尺寸都比电磁波的波长λ 以及观察点距离小的多。因此,可认为任一观察点 到细导线段上各点的距离近似相同,而且在单元偶 极子上的电流是均匀且同相的。 ? 设细线电流段位于无限大的自由空间内,其电流为: ? 则对应的复数形式为:

i ? I m cos??t ? ? ?

? ? Ie j? I
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? 根据达朗贝尔方程解的复数形式(4-81)可得: ? j?R ? ? I e ? ?r ? ? 0 A dl ? ? 4? ?l R ? 由于?l ?? ?,?l ?? r ,所以可认为上式中R ? r ;又 因电流仅有z方向分量,即 dl ? ? dzez,故:

??l ? j?r ? I ? ?r ? ? 0 e e A z 4?r

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??l ? j?r ? I ? ?r ? ? 0 e e A z 4?r
? 根据细线电流段产生的矢量磁位表达式可知,其仅 有z轴分量,把其转化为球坐标系下的分量可写为:

? A r ? A ?

??l ? j?r ? I ? ?e ? A ? cos? ? 0 ?A e cos? r z 4?r ??l ? j?r ? I ? ?e ? A ? (? cos? ) ? ? 0 ?A e cos? ? z 4?r
? ?? A ? ? ? H ?? ,故可得: ,E j??0
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? ?A ? ?e ? A ? cos90 0 ? 0 A ? ? z
? ? ? 由于 H

?0

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单元偶极子载流天线产生的电磁场:
? H ? ? H ? ??l ? j 2? r ? I 2?r ? ? ? e 1 ? j ? ? cos? 2 4?r ? ? ? ? ?0 ?H
r

2? ? ?j r? ? I ? l ? ? 0 ? ? Er ? e ?1 ? j ? cos? 2 ? 0 2?r 2?r ? ?

??l ? j 2? r ? ? I 2?r ? ? 0 ? ? ? E e 1 ? j ? j ? ? sin ? ? 2 ? 0 4?r ? 2?r ? ? ? ?0 E ?
式中,λ=2π/β,称为电磁波的波长。从以上表达式可知,单位偶极子 天线的辐射电磁场表达式均含有(r/λ)不同幂项的因子,随着(r/λ) 的变化,某些项将其主要作用,而一些项则其次要作用。为了突出它 的主要性质,把它分为近区场和远区场两种情况进行讨论。
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近区场(r << λ)表达式:
? H ? ? H ? ??l ? j 2? r ? I 2?r ? ? ? e ?1 ? j ? cos? 2 4?r ? ? ? ? ?0 ?H
r

2? ? ?j r? ? I ? l ? ? 0 ? ? Er ? e ?1 ? j ? cos? 2 ? 0 2?r 2?r ? ?

?

??l ? j 2? r ? ? I 2?r ? ? 0 ? ? E? ? e ?j ?1 ? j ? sin ? 2 ? 0 4?r ? 2?r ? ? ? ?0 E ?

??l sin ? I ? ? H ? 4?r 2 ? ?H ? ?0 H ? r ? cos? 2 P ? ? E r 4?? 0 r 3 ? sin ? P ? ? E ? 4?? 0 r 3 ? ?0 E
?

? ? (I ??l ) /( j?) 。 式中, P
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近区场的特征:
??l sin ? I ? ? H ? 4?r 2 ? ?H ? ?0 H ? r ? cos? 2 P ? ? E r 4?? 0 r 3 ? sin ? P ? ? E ? 4?? 0 r 3 ? ?0 E
?

? 从近场区电磁场的表达式可知: ? 1)磁场与由毕奥-沙伐定律求得的电流 元 IΔl 的磁场(式3-3)相同;电场与由库 仑定律求出的电偶极子 P 的电场(式1-23) 相同,而且磁场与源的相位完全相同。这 些特点说明,虽然源随时间变化,但当场 点与源点间的距离远小于波长时,推迟效 应可以忽略,时变电磁场与恒定电磁场的 特性完全相同。 ? 2)从能量关系看,电场滞后于磁场90度 相位角,故复坡印亭矢量的实部为零,只 有虚部。这表明,在近场区,只有电能与 磁能的交换和振荡,似乎不能通过近场区 向外辐射电磁能量。当然这一结论是近似 的,这是由于忽略(r/λ)的高次项后的结 果。实际上,单元偶极子天线向远处辐射 电磁能量真是依赖于这些高次项。
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远区场(r >> λ)表达式:
? H ? ? H ? ??l ? j 2? r ? 2?r ? I ? j ? 1 e ? ? cos? ? 2 ? ? 4?r ? ? ?0 ?H
r

? H ?

2? ? ?j r? ? ? ? l ? I 0 ? ? e Er ? ? cos? ?1 ? j 2 2?r ? ? 0 2?r ?

?

? H ? ? ?0 E
r

??l sin ? ? j 2? r I ?j e ? 2?r ? ?0 ?H r

??l ? j 2? r ? ? ? ? 2?r I 0 ? ? ? j ? j ? 1 e E ? sin ? ? ? 2 2?r ? ? ? 0 4?r ? ? ?0 E ?

2? ? ?j r ? I ? l sin ? 0 ? ? E j e ? ? ?0 2?r

? ?0 E ?

?上面的右式即单元偶极子天线在远区场的数学表达式。

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远区场的特征(1):
? ?H ? ?E ? ?E ? ?0 H ? r r ? ??l sin ? ? j 2? r I ? ?j H e ? ? 2?r 2? ? ?j r ? I ? l sin ? 0 ? ? E j e ? ? ?0 2?r

? 磁场和电场的相位相同,且场量的相位随 r 的增大不 断落后,即推迟效应不能忽略,无论电场和磁场均具 有波的性质。在距离单位偶极子天线为 r 的球面上具 有相同的相位,即等相面为球面,故单元偶极子天线 在远区产生的电磁波是球面波。
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远区场的特征(2) :
? ?H ? ?E ? ?E ? ?0 H ? r r ? ??l sin ? ? j 2? r I ? ? ?j H e ? 2?r 2? ? ?j r ? I ? l sin ? 0 ? ? ? E j e ? ?0 2?r

? 在时间上,磁场和电场的相位相同, 故复坡印亭矢量只有实部。由 S = E×H 知,S 沿 r 方向,说明远区 中只有不断向外辐射的能量。故远 去又称为辐射区,其中的电磁场称 为辐射场。

? 穿过半径为 r 的球面A向 ? 由远区场的电磁辐射总功率公式 外辐射的总电磁功率为: 可知,P与球面半径 r 的大小无关, ~ 即穿过以波源为中心的任一球面 P ? Re S ? dA A 向外辐射的电磁功率是相同的。 2 这表明能量没有在空间停留,而 ? ? ? l ? ? ? I 2 ?80? 2 ? ? ? 是不断地从波源处呈辐射状向外 ??? ? ? ? ? 传播而去。

? ??

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远区场的特征(2) :
? 穿过半径为 r 的球面A向 ? 单元偶极子天线的辐射功率P不 外辐射的总电磁功率为: 仅与电流有关,还与(Δl/λ)的 大小有关。 ~ P ? Re S ? dA A ? 辐射功率可看作是电源向电阻 2 Re输出的功率。 ? ? 2 2 ? ?l ? ? I ?80? ? ? ? ? 辐射电阻的大小可以反映出天 ? ? ? ? ? ? ? 线辐射电磁能量的能力。 ? 定义辐射电阻:

? ??

? ?l ? Re ? 80? ? ? ???
2

2

? 讨论: ? 1)频率高,波长短,可以使用 短天线发射; ? 2)频率低,波长长,必须使用 长天线发射。
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远区场的特征(3) :
? ?H ? ?E ? ?E ? ?0 H ? r r ?
2? ? ? j r I?l sin ? ? ? H? ? j e 2?r 2? ? ?j r ? I ? l sin ? 0 ? ? ? E j e ? ?0 2?r

? 在远区场,磁场仅有 ? 分 量,电场仅有θ 分量,而 波的传播方向为 r 方向, 即磁场、电磁和波传播方 向三者相互垂直。

? E ?0 ? ? 电磁波的波阻抗 Z0 定义: Z 0 ? ? ? 377? ? H ?0 ?
?在远场,呈现高阻,分析场大小时,以电场为主。
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远区场的特征(4) :
? ?H ? ?E ? ?E ? ?0 H ? r r ?

?辐射的方向性

2? ? 从远区场的表达式可知,E ? ? j r I ? l sin ? ? ? ?j H e 和 H 不仅与距离 r 有关, ? 2?r 而且与观察点所处的方位 2 ? ??l sin ? ? j r ? I 有关。 0 ? ? E? ? j e ?0 2?r

? 场强公式中与θ、? 有关的因子称为方向性因子, 以 f(θ,?)表示。 ? 对于单元偶极子天线, f(θ,?) = sin θ。
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远区场的特征(4) : 辐射的方向性
? ?H ? ?E ? ?E ? ?0 H ? r r ? ??l sin ? ? j 2? r I ? ? ?j H e ? 2?r 2? ? ?j r ? I ? l sin ? 0 ? ? ? E j e ? ?0 2?r
?θ = 90 度,场量最大;
?θ = 0 度或180 度,场量为零。 ?电力线因经线分布; ?磁力线沿纬线分布。

辐射场E面方向图

辐射场立体方向图

远场某区域的电磁场
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例题:P179,4-6-1
? 在自由空间里有一单元偶极子天线,已知l=0.1m,λ=10m, Im= 1 A,求r = 1000 m,θ = 90度时: 1)电场强度振幅及磁场强度振幅值; 2)坡印亭矢量最大值; 3)该单元偶极子天线的总辐射功率; 4)该单元偶极子天线的辐射电阻。 ? 解: 1)由于 r >>λ,故属于远区场。应用远区场公式(4-90)得:
I?l sin ? H?m ? ? 5 ?10 ?6 ? A / m? 2?r ?0 I?l sin ? E?m ? ? 1.885 ?10 ?3 ?V / m? ? 0 2?r
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? 2)坡印亭矢量的最大值为: ? ? S max ? ?E ? H ?max ? Emax ? H max
? 5 ?10 ?6 ?1.885 ?10 ?3 ? 9.4 ?10 ?9 W / m 2 ? 3)总辐射功率为: 2 ? ? 2 2 ? ?l ? P ? I ?80? ? ? ? ? 0.039?W ? ??? ? ? ? ? ? 4)辐射电阻为: 2 2 ? ?l ? Re ? 80? ? ? ? 0.079??? ???
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?

?

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例题:P185,4-11
? 单元偶极子辐射电磁波频率 f = 106 Hz,天线长度Δl =10m, 天线中电流 I = 35 A,求天线的辐射电阻和辐射功率。

? 解:
? 电磁波的波长为:

v 1 ?? ? ? 300?m? f ?0? 0 f
? ?l ? Re ? 80? ? ? ? 0.879??? ???
2 2

? 天线的辐射电阻为: ? 天线的辐射功率为:
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P ? I 2 Re ? 1.075?W ?
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§4.6.2 细线天线
? 单元偶极子的辐射能力差,为提高辐射能力,通常采用由截 面半径远小于波长的金属导线构成的天线,称为细线天线。 ? 将一段终端开路的双线传输线的两根导线张开一定角度,若 张角为180度,两导线在直线上,就构成了一种细线天线,称 为直线对称振子。 ? 直线对称振子是一种细线天线,它是指线的横截面尺寸远比 波长小,它的长度l与波长λ在同一数量级(2l = Nλ)上,流经它 上面的电流i不再等幅同相。

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对称振子天线的辐射场
? 与单元偶极子天线的分析方法类似,同时考虑到对 称振子可分成许多小单元,每个小单元就是一个单 元偶极子天线,从而可得对称振子天线的辐射场为:

? 可以看到,在距离对称振子天线为 r 的球面上具有 相同的相位,即等相面为球面,故对称振子的辐射 场也是球面波。

? ? 60 I cos ? l cos ? ? cos ?l ? ? j?r ? ? ? E ? E? ? j e ? ? r ? sin ? ?

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对称振子天线辐射场的方向性
? 对称振子天线的方向性因子为:

cos??l cos? ? ? cos ?l f ?? , ? ? ? sin ?

? 可以看到,对称振子天线的方向性因子(辐射场强)不仅和 θ有关,而且和天线半长度 l 有关。

不同天线长度的E平面方向图
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§4.6.3 天线阵
? 实际使用的天线,经常由多个相同的天线按一定规 律排列组合在一起而构成,称为天线阵。这种组合 可以获得某些期望的辐射特性。例如,期望得到更 强的方向性、更高的增益或所需要的方向图。 ? 组成天线阵的独立单元称为阵元或天线单元(如直 线对称振子)。若各天线单元排列在一直线上或一 平面上,则称为直线阵或平面阵。另外,还有空间 列阵天线。 ? 书中以直线阵中最基本的二元天线阵为例,说明了 天线阵方向性增强的原理。其分析方法与前节类似, 在此不再描述。
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本章完结


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